2021年秋模拟与数字电路。
绪论
数制与代码
数制及其转换
有符号数的编码
补码加减运算
二进制代码
数制：所谓“数制”，指进位计数制，即用进位的方法来计数，包括计数符号（或称数码）和进位规则两个方面。
任意进制：R个计数符号，逢R进一
数制及其转换
不同进制之间相互转换
任意进制 → 十进制：按位权展开求和
十进制 → 任意进制：
–整数部分：辗转除基取余，先得较低有效位
–小数部分：辗转乘基取整，先得较高有效位
二、八、十六进制之间：
– 二进制 → 十六 (八) 进制：以小数点为起点，按 4 (3) 位分组，不足部分补 0，每组转换为 1 位十六 (八) 进制数码
– 十六 (八) 进制 → 二进制：每位十六 (八) 进制数码转换为 4(3) 位二进制数码
二进制算术运算
加、减运算与十进制数运算规则类似，不同在于进位或借位规则；乘、除运算可以用加、减和移位运算实现数据用补码表示，减法可转化为加法运算。
有符号数的编码
常用编码：原码、反码和补码。
– 最高 1 位表示符号：0 - 正数，1 - 负数
– 余下位表示数值
对于正数，三种码相同，余下位=数值位。对于负数，三种码不同：
– 原码：余下位 = 数值位；
– 反码：余下位 = 取反(数值位)；
– 补码：全部位 = 取反(数值位) + 1
补码 → 实际值
–正数：+ ( 补码 )
–负数：– ( 补码 + 1)
溢出：运算的结果超出了补码的表示范围
溢出判别：最高位进位和次高位进位。相同，则未溢出；不相同，则溢出。
二进制代码
二进制数码：表示不同事物或状态。待编码的事物或状态的个数 N，与编码后二进制代码的位数 n 之间应满足：2n≥N
常用代码：ASCII码、BCD码、格雷码
ASCII码——美国信息交换标准代码
– 7 位二进制代码, 共可表示 128 个字符, 其中
– 95 个可显示和打印字符
– 33 个控制字符
BCD码——二-十进制码 (Binary-Coded Decimal)
– 用4位二进制数码，来表示一位十进制数码
– 有多种方案，不同方案得到不同的 BCD 码
常用BCD码
–有权码：8421码、5421码、2421码
–无权码：余 3 码、余 3 循环码
–如无特别说明，BCD 码一般指 8421 BCD 码
格雷码
编码顺序依次变化时，相邻代码仅有一位不同。最小和最大之间也只有一位不同，也称循环码。
| 编码顺序 | 二进制码 | 格雷码 | 编码顺序 | 二进制码 | 格雷码 |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0000 | 0000 | 8 | 1000 | 1100 |
| 1 | 0001 | 0001 | 9 | 1001 | 1101 |
| 2 | 0010 | 0011 | 10 | 1010 | 1111 |
| 3 | 0011 | 0010 | 11 | 1011 | 1110 |
| 4 | 0100 | 0110 | 12 | 1100 | 1010 |
| 5 | 0101 | 0111 | 13 | 1101 | 1011 |
| 6 | 0110 | 0101 | 14 | 1110 | 1001 |
| 7 | 0111 | 0100 | 15 | 1111 | 1000 |
逻辑代数基础 (1)
•基本逻辑运算
•逻辑函数及其表示方法
•逻辑代数基本定律
逻辑代数基本规则
逻辑代数：也称布尔代数，是研究数字电路不可或缺的数学工具
逻辑变量：只有 0、1 两种取值。0和1不代表数量大小，而是表示对立的两种逻辑状态
逻辑函数：描述输入/输出逻辑变量之间的关系
基本逻辑运算：与 、或 、非
基本逻辑运算
与运算
与逻辑，也称逻辑乘。条件全部具备，结果才发生。
与逻辑表达式：$Y = A • B = A B$
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|---|---|
或运算
或逻辑，也称逻辑加。条件之一具备，结果就发生
或逻辑表达式：$Y = A + B$
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|---|---|
非运算
非逻辑，也称逻辑反。条件不具备，结果发生；条件具备，结果不发生。
非逻辑表达式 $Y = \bar A$。其中，$A$ 和 $\bar A$ 分别称为原变量和反变量。
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|---|---|
常用复合逻辑运算——与非
与非逻辑表达式：$Y = \overline{A B}$
特点：全 1 得 0，有 0 得 1。常用复合逻辑运算─或非
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常用复合逻辑运算─或非
或非逻辑表达式：$Y = \overline{A+B}$
特点：有 1 得 0，全 0 得 1。
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|---|---|
常用复合逻辑运算─异或
异或逻辑表达式：$Y = A\oplus B = \overline{A}B+A\overline{B}$
特点：不同得 1 ，相同得 0。
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|---|---|
常用复合逻辑运算─同或
同或逻辑表达式：$Y=A\odot B=\overline{A\oplus B}=\overline{A}\overline{B}+AB$
特点：相同得 1， 不同得 0。
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|---|---|
常用复合逻辑运算─与或非
与或非逻辑表达式：$Y = \overline{AB+CD}$
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|---|---|
逻辑函数及其表示方法
如果对应于输入逻辑变量 A、B、C、…的每一组确定值，输出逻辑变量 Y 都有唯一确定的值，则称 Y 是A、B、C、…的逻辑函数，记为 Y = f (A, B, C…) 简写为 Y (A, B, C…)
逻辑函数的表示方法
–真值表、逻辑式、逻辑图、波形图、卡诺图、硬件描述语言表示法等
–不同的表示方法是等价的，可以相互转换
真值表：由逻辑变量所有取值组合及其对应函数值构成的表格
逻辑函数式：由逻辑变量、逻辑运算符和括号等构成的式子，也称逻辑代数式，或者逻辑表达式，简称逻辑式
逻辑图：由逻辑符号及其相应连线构成的电路图
波形图：将逻辑变量所有取值组合及其对应函数值，以高、低电平形式，按时间顺序排列构成的图形，又称时序图
真值表→逻辑式
找出真值表中使逻辑函数为1的输入变量取值组合。每个组合写成一个乘积项，其中取值为1的输入变量写成原变量，为 0 的写成反变量。将这些乘积项相加，即得逻辑函数式
逻辑式→真值表
方法一：将输入变量取值的每个组合逐一代入逻辑式，求出函数值，然后填真值表
方法二：根据逻辑式中每个乘积项的含义直接填真值表
逻辑式↔逻辑图
逻辑式→逻辑图：用逻辑符号取代逻辑式中的运算符，并按运算优先顺序将它们连接起来
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→ |  |
|---|---|---|
逻辑图→逻辑式
–从输入到输出逐级写出逻辑符号对应的逻辑式
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→ |  |
|---|---|---|
波形图→真值表
根据所给的波形，列出各输入变量组合所对应的输出值
逻辑代数基本定律
$A·0=0$，$A ·1 =A$；
$A+1=1$， $A+0=A$；
$A ·A=A$，$A+A=A$；
$A · A=0$，$A+A=1$， $\overline{\overline{A}} = A$
交换律：$A · B= B · A$； $A+B=B+A$
结合律： $A(BC)=(AB)C$，$A+(B+C)=(A+B)+C$
分配律： $A(B+C)=AB+AC$；$A+BC=(A+B)(A+C)$
吸收律： $A + A · B= A$，$A · (A+B)=A$
反演律 (摩根定理)：$A+B=A·B$，$AB=A + B$
逻辑代数基本规则
代入规则
在任一逻辑恒等式中，若以一个逻辑表达式，代替恒等式两边所有出现的某一变量，则所得等式仍然成立，利用代入规则可以扩展基本定律的应用范围。
反演规则
对于任一逻辑表达式 Y ，若将其中所有运算符、常量和变量作如下变换
则所得的逻辑表达式，就是原函数 Y 的反函数 Y
应用反演规则求反函数：保持原函数运算次序，即先括号，然后与，最后或，必要时适当地加入括号，不属于单个变量上的非号保留不变。
对偶规则
对于任一逻辑表达式Y ，若将其中所有运算符和常量作如下变换：
则所得的逻辑表达式称为 Y 的对偶式，记作 Y′
对偶规则：若两个逻辑表达式相等，则它们的对偶式也相等。利用对偶规则，从已知公式可以得到更多公式 。